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| ◆ 食塩水の問題 と聞いただけで 「あーあ、やだなあ！」とため息をつく人がいるかも知れません。 しかし安心してください。 これからお話しすることを忠実に守っていけば、比較的簡単に方程式が立てられるようになります。 実際にやってみた人からのメールです。 ◆この講座の目次を書いておきます。
このレッスンをやるのに必要な時間は 人によって違いますが、
たったこれだけの時間で 食塩水の問題 が自信を持って解けるようになるなら、やってみる価値はあると思いませんか？・・・いかがですか？・・・やってみますか？ ◆ではノートと筆記用具を用意して、さっそく始めましょう。 ※尚、この講座は お助け講座集 のフリー（無料）講座ですが、著作権は存在しますので、コピーはご遠慮ください。（著作権者：荒木伸一） ※このレッスンは、２０１９年９月にリニューアルしました。 それに伴い、リンクミスや、数字の間違いなど、初期不良があるかもしれません。気がついた方は是非お知らせ下さい。 →こちらへお願いします。 なお、旧バージョンはこちらです。 |
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レッスン １
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| ●このレッスンでは ％について余計な恐怖心を持たなくていいように 「％についての心得」 を書いておきます。 もしあなたが ％ ＝ むずかしいもの と考えているとしたら、それは間違いです。％ ＝ ～倍 と同じもの と考えてください。 これが「％の心得」です。●例えば ３００円の ２倍はいくら？ といわれたらあなたはどのように計算しますか？ 当然 次のようにやりますよね。 ３００円 × ２ でしょ？ では ３００円の５％はいくら？ といわれたらどうですか？実は ％ になっても 全く同じ なのです。 いいですか？ たとえば・・・ |
| ●方程式で食塩水の問題を解くときに必要な知識は、たったこれだけです。 では、確認のために練習をやってみましょう。 ●ノートを用意して下さい。 そして次の問題をやってみて下さい。 わからない問題はとばして構いませんが、答合わせの時にしっかり確認してください。 答合わせは【練習】ごとに（①～⑤が終わったら）やります。 では始めましょう。 【練習１】 ① ３ ％ は何倍のこと？ ② ３４ ％ は何倍のこと？ ③ １２０ ％ は何倍のこと？ ④ ａ ％ は何倍のこと？ ⑤ （ａ＋ｂ） ％ は何倍のこと？ できましたか？ では答合わせをして下さい。 【練習２】次の問題の「式」と「答」を書きなさい。 ① ２００ 円 の １０ ％ はいくら？ ② ３００ ｇ の ８ ％ は何ｇ？ ③ １５０ 人 の １２０ ％ は何人？ ④ １５０ 人 の ａ ％ は何人？ ⑤ ｙ ｇ の ｘ ％ は何ｇ？ ●答合わせまで終わりましたか？ レッスン１ はこれで終わりです。 繰り返しますが、中学の方程式で「食塩水の問題」を解くときに必要になる 「％の知識」 はこれだけです。 これだけをしっかり覚えておいてください。 |
レッスン ２
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| ●ここでは、食塩水の絵（図）を描く練習をします。 慣れれば１分もかかりませんから面倒くさがらずにやりましょう。 図を描くときのポイントは、次の４つです。 |
●ではさっそく練習をしてもらいます。 まず例題を見てもらい、 それを見ながら実際に図を描いてもらいます。 例題は７つあり、パターンごとに次のように並んでいます。 覚えなければならないのは （１）～（５）の５つだけです。
準備運動 A B |
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（１） 食塩水に 水を加える 10 ％ の食塩水 200 g に水を ｘ g 加えると 4 ％ の食塩水になる。 |
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●では、ここでまず準備運動 A 、B と （１）のパターン ３つについて作図練習をしてもらいます。 わからなくなったら【例題】の絵を参考にして構いませんが、必ず自分の手で、ノートに実際に絵を描いてください。 （頭の中だけで考えたりしないように！） では、始めましょう。 【練習３】 次のことに注意して、下の①～③を図にしなさい。
① ７％の食塩水５００ｇを作った。 ② ａ％の食塩水が３００ｇある。 ③ ４％の食塩水２００ｇに水を ｙ ｇ 加えたら２％の食塩水になった。 ●答合わせまで終わったら、次の例題に進みましょう。 |
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（２） 食塩水から 水を蒸発させる 10％ の食塩水 ２００ｇ から水を ｘｇ 蒸発させると 12％ の食塩水になる。 |
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（３） 食塩水に 塩を加える ４％の食塩水に ４０ｇ の食塩を加えると、 １０％の食塩水になった。 ４％の食塩水は何ｇあったのか？ 4 ％の食塩水が ｘ ｇ あったとして |
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●また、ここで練習をします。 【練習３】 下の注意書きを守って ④、⑤の問題文を図にしなさい。
④ ４ ％の食塩水３００ｇから水を x ｇ 蒸発させたら ６％の食塩水になった。 ⑤ ある濃度の食塩水 300ｇ に、２０ｇの食塩を加えると １０％の食塩水になった。 ●答合わせまで終わりましたか？ それでは次に移りましょう。 |
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（４） ２種類の食塩水を混ぜる ●次の例題は、１年生と２、３年生（連立方程式を習った人）とでは、図の描き方が少し違います。 ただし、２、３年生も１年生用の図の描き方を見た上で、連立用の図の描き方を見てみましょう。 10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。 それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？ ※ 中学１年用 （１元方程式用） 10％の食塩水を ｘ ｇ とすると、 |
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| 10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。 それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？ |
| ※ 中学２年用 （連立方程式用） 10 ％のを x g 、 ５％のを y g とすると |
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（５） 食塩水から 一部分を抜き取る |
| １０％の食塩水 400ｇ がある。 これから ｘｇ の食塩水を取りのぞき、 かわりに ｘｇ の水を加えると 濃度は６％になった。 |
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| ●ではまた、作図練習です。 【練習３】 次のことに注意して、下の⑥、⑦を図にしなさい。
⑥ ８％の食塩水と３％の食塩水を混ぜたら ６％の食塩水５００ｇができた。 （下の注意書きを守って）
⑦ ６％の食塩水 ｘｇ がある。 このうち ２００ｇ を抜きとり、かわりに ２００ｇ の水を加えたら ４％の食塩水になった。 ●さて、答合わせまで終わりましたか？ これでレッスン２は終わりです。 理解できなかったところはもう一度見直してから、レッスン３に進みましょう。 |
レッスン３
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| ●レッスン３では、いよいよ式を作る作業をやります。 と言っても実は、 レッスン２までに ほとんど式は完成しているのです。 あとは「＝（イコール）」をつけるだけなのです。 そのことをこれから説明します。 ●「食塩水の問題」を解くとき、一番のポイントになるのは、「食塩の量は同じ」ということです。 つまり、 |
| 食塩の量 ＝ 食塩の量 |
| という等式（方程式）を作ればよいのです。 これが、食塩水の問題（基礎編）を解くときの最大のポイントといえます。 ●実際の例を見てみましょう。 レッスン２で使った例題の（１）～（５）を思い出してください。 |
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| （１） 10％の食塩水 ２００ｇ に水を ｘｇ 加えると ４％ の食塩水になるという。 ｘ を求めよ。 ※図と、食塩の式は下のようなものでしたね。 |
| ここで注意してほしいのは、 |
| （左の塩の量） ＝ （右の塩の量） |
| と言うことです。 （ 水の量や、濃度は変化していますが、塩の量は同じでしょ？ ） つまり、式で表すと、 |
| これが、この問題の方程式です。 この方程式を解くと ｘ ＝ 300 と出てきますから、 答は ｘ ＝ 300 で終わり。 |
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| （２） 10％ の食塩水 ２００ｇ から水を蒸発させると 12％ の食塩水になったという。 蒸発させた水の量を求めよ。 という問題だったら、 とりあえず ｘ ｇ の水を蒸発させるとして、図は下のようなものでした。 |
| ここでも同じように、 （左の塩の量） ＝ （右の塩の量） ですから、 |
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| （３） ４％の食塩水に ４０ｇ の食塩を加えると、 １０％の食塩水になった。 もともと４％の食塩水は何ｇあったのか？ ４％の食塩水を ｘ ｇ として、 |
| これも同様に 左の塩 ＝ 右の塩 だから |
| これを解いて ｘ ＝ 600 したがって答は、 ４％の食塩水は 600 ｇ ということになります。 |
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| （４） 10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。 それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？ ※これも、図と式は下のようでしたね。 ●中１，中３（１元方程式）用 |
| ここでは （10％の塩の量）＋（５％の塩の量）＝（８％塩の量） と考えて、方程式は |
| これを解くと ｘ ＝ 360 となります。 よって、 10％のを 360 ｇ， ５％のを (600－360)＝240 ｇ これが答ということになります。 |
| ●中２，中３（連立方程式）用 10 ％ のを x g , 5 ％ のを y ｇ とする |
| ここでは、 （10％の塩の量）＋（５％の塩の量）＝（８％塩の量） と考え、 さらに（塩水の量） ＋ （塩水の量） ＝ （塩水の量） ということから、次の２つの等式が書けます。 |
| これを連立して解くと ｘ ＝ 360 , ｙ ＝
240 となります。 よって 10％のを 360ｇ ，５％のを 240ｇ これが答となります。 |
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| （５） １０％の食塩水４００ｇ がある。 これから ｘｇ の食塩水を取りのぞき、 かわりに ｘｇ の水を加えると 濃度は６％になった。 |
| これも同様に 塩の量 ＝ 塩の量 という等式を作れば、方程式の出来上がりです。 ●さあ、理解できましたか？ ちょっとごちゃごちゃしてきましたが、要するに、
【練習４】 次の文章題は、【練習３】でやってもらった①～⑦の問題のうち、（１）～（５）の５パターンに当たる、③～⑦を、方程式の文章題としてアレンジしたものです。 あなたのノートに描いてある【練習３】の③～⑦の図を見ながら、方程式を立て、計算し、答を出してください。 （ただし、以前にやったとき、図の描き方が間違っていたものは、改めて描き直してください。） ③ ４％の食塩水２００ｇに水を加えたら２％の食塩水になった。 何ｇの水を加えたのか？ 水の量を ｙ ｇ として解きなさい。 ④ ４ ％の食塩水３００ｇから水を蒸発させたら ６％の食塩水になった。 蒸発させた水の量を求めよ。 ⑤ ある濃度の食塩水 300ｇ に、２０ｇの食塩を加えると １０％の食塩水になった。 初めにあった食塩水の濃度は何％か。 ⑥ ８％の食塩水と３％の食塩水を混ぜたら ６％の食塩水５００ｇができた。 それぞれ何 ｇ ずつの食塩水があったのか？ （下の注意書きを守って）
●いかがですか？ 方程式を立てる作業はそれほど難しくないでしょ？ 図さえ描いてあればね！ つまり文章題を解く作業というのは、式を立てることがメインではなくて、「図を描くことがメイン」だと考えてください。 これは「食塩水の問題」に限ったことではありません。 ●さあ、それではレッスン３はこれで終わります。 疲れた人はちょっとお休みを取りましょう。 「まだまだ大丈夫！」という人は、続けてレッスン４に進んでください。 注意：中学３年生の皆さんへ 中３になると、２次方程式の文章題 として食塩水の問題が出る場合がたまにあります。 このとき、（５）食塩水の一部を抜き取る作業 を２回繰り返すことが多いのですが、この場合は食塩の量を計算する式の立て方を少し変える必要があります。 （作図方法は同じです。） このことについては、 基礎編が終わってから、応用編として解説を作ってありますので、 まずは基礎編を終了して下さい。 |
レッスン ４
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| ●いよいよ最後のレッスンになりました。 ここでは自力で問題を解いてもらいます。 繰り返しになりますが、 覚えなければならないパターンはわずか５つでしたね。 （１） 水を加える （２） 水を蒸発させる （３） 塩を加える （４） ２種類の食塩水を混ぜる （５） 一部分を抜き取る 総復習の意味で、その５つのパターンの図の描き方と方程式の作り方を、下にまとめておきますから、ざっと目を通して、【練習５】に進んでください。 |
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（１） 水を加える |
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（２） 水を蒸発させる |
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（３） 塩を加える |
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（４） ２種類の食塩水を混ぜる |
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（５） 一部分を抜き取る |
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| 【練習５】 次の問題を読み、図を描き、式をたて、計算し、答を出しなさい。 ① 濃度 １２％ の食塩水に水を ２００ ｇ 加えて、８％の食塩水にしたい。 １２％の食塩水を何ｇ用意すればよいか？ ② ８％の食塩水Ａと １５％の食塩水Ｂを混ぜて、１０％の食塩水を７００ｇ作りたい。 Ａ，Ｂをそれぞれ何ｇずつ混ぜればよいか？ ③ ８％の食塩水１５０ｇがある。 これを熱して水分を蒸発させ、１０％の食塩水を作りたい。 水を何ｇ蒸発させればよいか？ ④ 銅を含む合金が２種類ある。 Ａは９０％、Ｂは６０％の銅を含んでいる。 いま、Ａ、Ｂを溶かし合わせて ７０％の銅を含む合金を４５ｋｇ作りたい。 Ａ，Ｂ各々何ｋｇずつ溶かせばよいか？ ⑤ 濃度５．４％の食塩水に５０ｇの食塩を混ぜると、濃度は１４％になった。 ５．４％の食塩水はもともと何ｇあったのか？ ⑥ 濃度１０％のアルコール水溶液２００ｇが入った容器がある。 この容器から ｘ ｇ だけくみ出して、かわりに ２ｘ ｇ の水をこの容器に加えたところ、６％のアルコール水溶液になった。 ｘの値を求めよ。 （ヒント：アルコールを塩の代わりとして沈殿させた図を描く） ⑦ （中２，中３用） Ａ，Ｂ２種類の食塩水がある。 Ａを２００ｇ、Ｂを４００ｇ混ぜると６％の食塩水ができ、 Ａを３００ｇ、Ｂを３００ｇ混ぜると５％の食塩水ができる。 Ａ，Ｂの濃度は各々いくらか？ ※ 以上の問題が自力で解ければ、公立中学の定期テストと公立高校の入試問題は、ほとんど解けると思います。 但し、中には次の問題のように、やや面倒な問題も存在しますので、安心は禁物ですが、きちっと図を描いて式を立てれば必ず解けますから、余裕のある人はやってみて下さい。 ⑧（愛知県の入試問題）Ａ、Ｂ２種類の食塩水が４００ｇずつある。食塩水Ａから２００ｇ、食塩水Ｂから１００ｇをとって混ぜたら８％の食塩水ができた。 また、食塩水Ｂの残りの３００ｇに２０ｇの食塩を混ぜたら、 食塩水Ａと同じ濃度になった。 元の食塩水Ａ，Ｂの濃度はそれぞれ何％か。 ⑨（香川県の入試問題）容器Ａ、Ｂに、異なる濃度の食塩水が Ａには４００ｇ、Ｂには３００ｇ入っている。 Ａ，Ｂからそれぞれ１００ｇずつ取り出し、よく混ぜ合わせると、５％の食塩水になった。 次にＡ，Ｂに残っている食塩水をすべて混ぜ合わせ、１００ｇだけ水を蒸発させると、 ５．５％の食塩水になった。 はじめ容器Ａ，Ｂに入っていた食塩水の濃度をそれぞれ ｘ ％、 ｙ ％ とするとき、 ｘ、ｙ の値を求めよ。 ●これで「食塩水の問題の解き方（基礎編）」のレッスンは終わりです。 もうあなたは、教科書と問題集（標準レベル）にのっている中学２年までの「食塩水の問題」はほとんど解けるようになっていると思います。 ウソだと思ったら、実際にやってみて下さい。 ●また中学３年生（高校受験生）のために、「２次方程式を使って解く食塩水の問題」の解き方を 応用編として用意してあります。 基礎編と図の描き方は全く同じです。 ただ、図が１段ではなく、２段、３段になったり、式の作り方を少し工夫する必要が出てきます。 必要な人はどんどんチャレンジしてみてください。 → 応用編へ ・・・・ お疲れさまでした ・・・
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