 食塩水の問題の解き方
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| ◆「食塩水の問題」と聞いただけで 「あーあ、やだなあ！」とため息をつく人がいるかも知れません。しかし安心してください。 これからお話しすることを忠実に守っていけば、比較的簡単に方程式が立てられるようになります。 実際にやってみた人からのメールです。 ◆この講座の内容（レッスンのタイトル）をまとめて書いておきます。
◆ではノートと筆記用具を用意して、さっそく始めましょう。 スマホの方は横画面で見てくださいね。 ※尚、この講座は お助け講座集 のフリー（無料）講座ですが、著作権は放棄していません。 |
レッスン１
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| ●このレッスンでは ％について余計な恐怖心を持たなくていいように 「％についての心得」 を書いておきます。 もしあなたが ％（パーセント） ＝ むずかしいもの と考えているとしたら、それは間違いです。 ％（パーセント） ＝ ～倍 と同じもの と考えてください。 これが「％の心得」です。 ●例えば ３００円の ２倍はいくら？ といわれたらあなたはどのように計算しますか？ 当然 次のようにやりますよね。 ３００円 × ２ でしょ？ では ３００円の５％はいくら？ といわれたらどうですか？ 実は ％になっても全く同じなのです。 いいですか？ たとえば・・・ |
| ●方程式で食塩水の問題を解くときに必要な知識は、たったこれだけです。 では、確認のために練習をやってみましょう。 ●ノートを用意して下さい。 そして次の問題をやってみて下さい。 わからない問題はとばして構いませんが、答合わせの時にしっかり確認してください。 答合わせは【練習】ごとに（①～⑤が終わったら）やります。 では始めましょう。 【練習１】 ①３％は何倍のこと？ ②３４％は何倍のこと？ ③１２０％は何倍のこと？ ④ａ％は何倍のこと？ ⑤（ａ＋ｂ）％は何倍のこと？ できましたか？ では答合わせをして下さい。 【練習２】次の問題の「式」と「答」を書きなさい。 ①２００円の１０％はいくら？ ②３００ｇの８％は何ｇ？ ③１５０人の１２０％は何人？ ④１５０人のａ％は何人？ ⑤ｙｇのｘ％は何ｇ？ ●答合わせまで終わりましたか？ レッスン１ はこれで終わりです。 繰り返しますが、中学の方程式で「食塩水の問題」を解くときに必要になる 「％の知識」 はこれだけです。 これだけをしっかり覚えておいてください。 |
レッスン２
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| ●ここでは、食塩水の絵（図）を描く練習をします。 慣れれば１分もかかりませんから面倒くさがらずにやりましょう。 図を描くときのポイントは、次の４つです。 |
●ではさっそく練習をしてもらいます。 まず例題を見てもらい、 それを見ながら実際に図を描いてもらいます。 例題は７つあり、パターンごとに次のように並んでいます。 覚えなければならないのは ③～⑦の５つだけです。
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準備運動
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食塩水に 水を加える パターン
| ③ 10％ の食塩水 ２００ｇ に水を ｘｇ 加えると ４％ の食塩水になる。 |
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●では、ここでまず例題①、②、③のパターンについて作図練習をしてもらいます。わからなくなったら【例題】の絵を参考にして構いませんが、必ず自分の手で、ノートに実際に絵を描いてください。（頭の中だけで考えたりしないように！） では、始めましょう。 【練習３】 次のことに注意して、下の①～③を図にしなさい。
① ７％の食塩水５００ｇを作った。 ② ａ％の食塩水が３００ｇある。 ③ ４％の食塩水２００ｇに水を ｙ ｇ 加えたら２％の食塩水になった。 ●答合わせまで終わったら、次の例題に進みましょう。 |
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食塩水から 水を蒸発させる パターン
| ④ 10％ の食塩水 ２００ｇ から水を ｘｇ 蒸発させると 12％ の食塩水になる。 |
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食塩水に 塩を加える パターン
| ⑤ ４％の食塩水に ４０ｇ の食塩を加えると、 １０％の食塩水になった。 ４％の食塩水は何ｇあったのか？ |
※４％の食塩水が ｘｇ あったとして、
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●また、ここで練習をします。 【練習３】 下の注意書きを守って ④、⑤の問題文を図にしなさい。
④ ４ ％の食塩水３００ｇから水を x ｇ 蒸発させたら ６％の食塩水になった。 ⑤ ある濃度の食塩水 300ｇ に、２０ｇの食塩を加えると １０％の食塩水になった。 ●答合わせまで終わりましたか？ それでは最後の例題⑥、⑦に移りましょう。 |
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２種類の食塩水を混ぜる パターン
| ●次の例題は、１年生と２、３年生（連立方程式を習った人）とでは、図の描き方が少し違います。 ただし、２、３年生も１年生用の図の描き方を見た上で、連立用の図の描き方を見てみましょう。 |
| ⑥ 10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。
それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？ |
| ※ 中学１年用 （１元方程式用） |
10％の食塩水を ｘ ｇ とすると、
５％の食塩水は（ 600－ ｘ ）ｇ だから
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
| ⑥ 10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。 それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？ |
| ※ 中学２年用 （連立方程式用） |
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食塩水から 一部分を抜き取る パターン
| ⑦ １０％の食塩水４００ｇ がある。 これから ｘｇ の食塩水を取りのぞき、 かわりに ｘｇ の水を加えると 濃度は６％になった。 |
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| ●ではまた、作図練習です。 【練習３】 次のことに注意して、下の⑥、⑦を図にしなさい。
⑥ ８％の食塩水と３％の食塩水を混ぜたら ６％の食塩水５００ｇができた。 （下の注意書きを守って）
⑦ ６％の食塩水 ｘｇ がある。 このうち ２００ｇ を抜きとり、かわりに ２００ｇ の水を加えたら ４％の食塩水になった。 ●さて、答合わせまで終わりましたか？ これでレッスン２は終わりです。 理解できなかったところはもう一度見直してから、レッスン３に進みましょう。 |
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レッスン３へ
↓
レッスン３
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| ●レッスン３では、いよいよ式を作る作業をやります。 と言っても実は、 レッスン２までにほとんど式は完成しているのです。 あとは「＝（イコール）」をつけるだけなのです。 そのことをこれから説明します。 |
| ●「食塩水の問題」を解くとき、一番のポイントになるのは、「食塩の量は同じ」ということです。 つまり、 食塩の量 ＝ 食塩の量 という等式（方程式）を作ればよいのです。 これが、食塩水の問題（基礎編）を解くときの最大のポイントといえます。●実際の例を見てみましょう。 レッスン２で使った例題の③～⑦を思い出してください。 |
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| ③ 10％ の食塩水 ２００ｇ に水を ｘｇ 加えると
４％ の食塩水になるという。 ｘ を求めよ。 ※図と、食塩の式は下のようなものでしたね。 |
| ここで注意してほしいのは、 （左のビーカーの食塩の量） ＝ （右のビーカーの食塩の量） と言うことです。 （水の量や、濃度は変化していますが、塩の量は同じでしょ？） つまり、式で表すと、 |
| これが、③の方程式です。 この方程式を解くと ｘ
＝ 300 と出てきますから、 答は ｘ ＝ 300 で終わり。 |
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| ④ 10％ の食塩水 ２００ｇ から水を蒸発させると
12％ の食塩水になったという。 蒸発させた水の量を求めよ。 という問題だったら、 とりあえず ｘ ｇ の水を蒸発させるとして、図は下のようなものでした。 |
| ここでも、 （左の食塩の量） ＝ （右の食塩の量） ですから、 |
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| ⑤ ４％の食塩水に ４０ｇ の食塩を加えると、 １０％の食塩水になった。 もともと４％の食塩水は何ｇあったのか？ ４％の食塩水を ｘ ｇ として、 |
これも同様に 左の食塩 ＝ 右の食塩 だから
これを解いて ｘ ＝ 600 したがって答は、
４％の食塩水は 600 ｇ ということになります。
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| ⑥ 10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。
それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？ ※これも、図と式は下のようでしたね。 |
| ●中１，中３（１元方程式）用 |
| ここでは、 （10％の塩の量） ＋ （５％の塩の量） ＝ （８％塩の量） と考えて、方程式は |
| これを解くと ｘ ＝ 360 となります。 よって、 10％のを 360 ｇ， ５％のを (600－360)＝240 ｇ これが答ということになります。 |
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| ●中２，中３（連立方程式）用 |
| ここでは、 （10％の塩の量） ＋ （５％の塩の量） ＝ （８％塩の量） と考え、 さらに（塩水の量） ＋ （塩水の量） ＝ （塩水の量） ということから、次の２つの等式が書けます。 |
| これを連立して解くと ｘ ＝ 360 , ｙ ＝
240 となります。 よって 10％のを 360 ｇ， ５％のを 240 ｇ これが答となります。 |
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| ⑦ １０％の食塩水４００ｇ がある。 これから ｘｇ の食塩水を取りのぞき、 かわりに ｘｇ の水を加えると 濃度は６％になった。 |
| これも同様に 塩の量 ＝ 塩の量 という等式を作れば、方程式の出来上がりです。 ●さあ、理解できましたか？ ちょっとごちゃごちゃしてきましたが、要するに、
という手順で、方程式を立てればよいということです。 しかも、覚えなければならないパターンは５つしかありません。 つまり
【練習４】 次の文章題は、【練習３】でやってもらった問題のうち、③～⑦を、方程式の文章題としてアレンジしたものです。 あなたのノートに描いてある【練習３】の③～⑦の図を見ながら、方程式を立て、計算し、答を出してください。 （ただし、以前にやったとき、図の描き方が間違っていたものは、改めて描き直してください。） ③ ４％の食塩水２００ｇに水を加えたら２％の食塩水になった。 何ｇの水を加えたのか？ 水の量を ｙ ｇ として解きなさい。 ④ ４ ％の食塩水３００ｇから水を蒸発させたら ６％の食塩水になった。 蒸発させた水の量を求めよ。 ⑤ ある濃度の食塩水 300ｇ に、２０ｇの食塩を加えると １０％の食塩水になった。 初めにあった食塩水の濃度は何％か。 ⑥ ８％の食塩水と３％の食塩水を混ぜたら ６％の食塩水５００ｇができた。 それぞれ何 ｇ ずつの食塩水があったのか？ （下の注意書きを守って）
●いかがですか？ 方程式を立てる作業はそれほど難しくないでしょ？ 図さえ描いてあればね！ つまり文章題を解く作業というのは、式を立てることがメインではなくて、「図を描くことがメイン」だと考えてください。 これは「食塩水の問題」に限ったことではありません。 ●さあ、それではレッスン３はこれで終わります。 疲れた人はちょっとお休みを取りましょう。 「まだまだ大丈夫！」という人は、続けてレッスン４に進んでください。 |
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レッスン４
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| ●いよいよ最後のレッスンになりました。 ここでは自力で問題を解いてもらいます。 繰り返しになりますが、 覚えなければならないパターンはわずか５つでしたね。 総復習の意味で、その５つのパターンの図の描き方と方程式の作り方を、下にまとめておきますから、ざっと目を通して、【練習５】に進んでください。 |
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| ⑦ 一部分を抜きとるパターン |
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| 【練習５】 次の問題を読み、図を描き、式をたて、計算し、答を出しなさい。 ① 濃度 １２％ の食塩水に水を ２００ ｇ 加えて、８％の食塩水にしたい。 １２％の食塩水を何ｇ用意すればよいか？ ② ８％の食塩水Ａと １５％の食塩水Ｂを混ぜて、１０％の食塩水を７００ｇ作りたい。 Ａ，Ｂをそれぞれ何ｇずつ混ぜればよいか？ ③ ８％の食塩水１５０ｇがある。 これを熱して水分を蒸発させ、１０％の食塩水を作りたい。 水を何ｇ蒸発させればよいか？ ④ 銅を含む合金が２種類ある。 Ａは９０％、Ｂは６０％の銅を含んでいる。 いま、Ａ、Ｂを解かし合わせて ７０％の銅を含む合金を４５ｋｇ作りたい。 Ａ，Ｂ各々何ｋｇずつ溶かせばよいか？ ⑤ 濃度５．４％の食塩水に５０ｇの食塩を混ぜると、濃度は１４％になった。 ５．４％の食塩水はもともと何ｇあったのか？ ⑥ 濃度１０％のアルコール水溶液２００ｇが入った容器がある。 この容器から ｘ ｇ だけくみ出して、かわりに ２ｘ ｇ の水をこの容器に加えたところ、６％のアルコール水溶液になった。 ｘの値を求めよ。 （ヒント：アルコールを塩の代わりとして沈殿させた図を描く） ⑦ （中２，中３用） Ａ，Ｂ２種類の食塩水がある。 Ａを２００ｇ、Ｂを４００ｇ混ぜると６％の食塩水ができ、 Ａを３００ｇ、Ｂを３００ｇ混ぜると５％の食塩水ができる。 Ａ，Ｂの濃度は各々いくらか？ ※ 以上の問題が自力で解ければ、公立中学の定期テストと公立高校の入試問題は、ほとんど解けると思います。 但し、中には次の問題のように、やや面倒な問題も存在しますので、安心は禁物ですが、きちっと図を描いて式を立てれば必ず解けますから、余裕のある人はやってみて下さい。 ⑧（愛知県の入試問題）Ａ、Ｂ２種類の食塩水が４００ｇずつある。食塩水Ａから２００ｇ、食塩水Ｂから１００ｇをとって混ぜたら８％の食塩水ができた。 また、食塩水Ｂの残りの３００ｇに２０ｇの食塩を混ぜたら、 食塩水Ａと同じ濃度になった。 元の食塩水Ａ，Ｂの濃度はそれぞれ何％か。 ⑨（香川県の入試問題）容器Ａ、Ｂに、異なる濃度の食塩水が Ａには４００ｇ、Ｂには３００ｇ入っている。 Ａ，Ｂからそれぞれ１００ｇずつ取り出し、よく混ぜ合わせると、５％の食塩水になった。 次にＡ，Ｂに残っている食塩水をすべて混ぜ合わせ、１００ｇだけ水を蒸発させると、 ５．５％の食塩水になった。 はじめ容器Ａ，Ｂに入っていた食塩水の濃度をそれぞれ ｘ ％、 ｙ ％ とするとき、 ｘ、ｙ の値を求めよ。 ●これで「食塩水の問題の解き方（基礎編）」のレッスンは終わりです。 もうあなたは、教科書と問題集（標準レベル）にのっている「食塩水の問題」はほとんど解けるようになっていると思います。 ウソだと思ったら、実際にやってみて下さい。 ●またこのレッスンでは、「私立高校の入試問題レベル」は説明していませんが、図の描き方や式の作り方は全く同じです。 ただ、図が１段ではなく、２段、３段になったり、式が複雑になったりするだけです。 興味のある人や必要な人はどんどんチャレンジしてみてください。 いずれこのレッスン（基礎編）の続編として「応用編」を作り、そこで説明したいと思っています。 ・・・・・・・・ お疲れさまでした ・・・・・・・・・・ |
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