食塩水の問題の解き方
（応用編）
２次方程式を使って解く問題
 

●食塩水の問題を２次方程式で解かなければならない場合というのは　それほど頻繁にあるわけではありませんが、その対策が必要だという生徒さんのために、　「２次方程式で解く食塩水の問題」　について、作図の仕方、式の立て方をお話ししようと思います。 　（　基礎編をやった方が対象ですので、まだやってない方は基礎編からやって下さい。）

●まず基礎編でやった５つのパターンのうち最後の

（５）食塩水の一部を抜き取る

というものを思い出して下さい。　

【 例題 】
１０％ の食塩水 ４００ ｇ がある。　これから ｘ ｇ の食塩水を取りのぞき、　かわりに ｘ ｇ の水を加えると　濃度は ６ ％ になった。
作図と食塩の式は ▼
▲ ▽
△
●これを　図はそのまま、青枠の部分の食塩の量の求め方を少し変えます。　なぜ求め方を変えるのかというと、　 ２次方程式の問題の場合、　「途中で％があいまいになり、％での計算ができなくなるから」というのが理由です。　　では新しい求め方を見てみましょう。

下図のように
  1. まず　Ａのビーカーの食塩の量を求めておく
  2. Ｂのビーカーの食塩の量は、％ではなく　Ａ、Ｂの食塩水の割合から求める
という考え方を使います。　　下の作図と立式をよーーーく見て下さい。　

１０ ％ の食塩水 ４００ ｇ がある。　これから ｘ ｇ の食塩水を取りのぞき、　かわりに ｘ ｇ の水を加えると　濃度は６ ％ になった。
▼
▲▽
△
●このようにしてＢの食塩の量を求めるわけですが、　もし上図中の「最大のポイント」がわからなければ先に進めませんので、その方は補習授業を受けて下さい。　

●最大のポイントが　問題なく理解できている方は、それほど苦労することなく　２次方程式が立てられますので安心して下さい。　では先に進みます。

●最大のポイントが本当にわかっているかどうか、ちょっと練習問題をやってもらいます。　下の問題について、図を描き、式を作って下さい。（図は必ず描くこと）

【練習１】
①　濃度 16 ％ の食塩水 ２００ ｇ から　ｘ ｇ の食塩水を抜き取った。　残った食塩水の中には、何 ｇ の食塩が含まれているか？　ｘ　を使って表しなさい。　（ただし　基礎編で用いた立式方法は使わないこと）

②　上の①の「残った食塩水」に ｘ ｇ の水を補充し、よくかき混ぜたら、１２ ％ の食塩水になった。　ｘ　を求めよ。　　

答はこちら

●では、本題の　２次方程式の問題　に移ります。

【 例題１ 】
10 ％ の食塩水が ２００ ｇ 入っている容器から ｘ ｇ の食塩水をくみ出し、代わりに ｘ ｇ の水を入れた。　それをよくかき混ぜてから、また ｘ ｇ の食塩水をくみ出し、代わりに ｘ ｇ の水を入れた。すると食塩水の濃度は ２．５ ％ になった。　ｘ を求めよ。
　下のように　Ａ～Ｄの段階に分けて　図を描きます。　問題文と照らし合わせて見て下さい。
▼
▲▽
△
図を描いたら、 図の中で
  1. Ａの塩を　計算で求める
  2. Ｂの塩を　Ａとの割合から求める
  3. Ｃの塩を　Ｂとの割合から求める
  4. Ｄの塩を　条件から求める
▼
▲▽
△
最後に　 基礎編でやったように、　

Ｃの食塩の量　＝　Ｄの食塩の量

　という等式を作れば　方程式のできあがりです。
▼
▲▽
△

●では、少しだけレベルを上げた例題をやります。一緒に図を描いてみて下さい。（例題はこれが最後です。）

【 例題２ 】
濃度 １０ ％ の食塩水 １００ ｇ をいれた容器から　ｘ ｇ　の食塩水をくみ出し、ｘ ｇ の水を入れた。 よくかき混ぜた後、今度は　２ｘ ｇ の食塩水をとりだし、そこに ３ｘ ｇ の水を加えたら　４ ％になった。　ｘ を求めよ。
▼
 方程式を作ると
▲▽

 方程式は
△
 

●以上が解説です。　　他にも考え方はあると思いますが、私が生徒に教えるときは　このような作図と立式を教えています。　では練習問題を２つやって下さい。　

【練習２】
５ ％ の食塩水が ５００ ｇ 入っている容器から ｘ ｇ の食塩水をくみ出し、　代わりに ｘ ｇ の水を入れた。　それをよくかき混ぜてから、また ｘ ｇ の食塩水をくみ出し、代わりに同量の水を補った。すると食塩水の濃度は ３．２ ％ になった。　ｘ の 値を求めよ。

練習２の答はこちら


【練習３】
濃度 １２ ％ の食塩水 ６００ ｇ をいれた容器から　ある量の食塩水をくみ出し、代わりに 同量の水 を入れて、よくかき混ぜた。 次に前にくみ出した量の ２倍 の食塩水をくみだし、そのかわりに 同量 の水を加えたら　４．５ ％ になった。　初めにくみ出した食塩水の量を ｘ ｇ　として　ｘ　の値を求めよ。

練習３の答はこちら
 

●これで、２次方程式を使った食塩水の問題の解き方講座は全て終わりです。　基礎編で作図練習がちゃんとできていれば、作図そのものはそれほど難しくはないと思います。　あとは立式を少し工夫し、　最後は計算力、ということになります。　ご自分の問題集に戻って、トライしてみて下さい。

●なお、図の描き方に決まりがあるわけではありませんので、自分でわかるように、アレンジするのはかまいません。　では健闘を祈ります。


塾長の　他の教材・講座
歴史・まとめプリント
地理・まとめプリント



　
 Copyright (C) 　since 2019 　ARAKI, Shin-ichi  All Right Reserved.