| ■ 公開講座 ■ 式の利用 レッスン１ 文字式の作り方 |
| ●レッスン１では 数字を文字に置き換える練習をします。 まず例題を見てみましょう。 |
| 【例】 奇数と奇数の和は偶数になることを証明せよ。 【例】 連続する３つの自然数の和は、３の倍数になることを証明せよ。 |
●このような問題を文字式を使って証明するには、「奇数」とか「偶数」とか「３の倍数」とか・・・これらを文字を使って表すことが出来ないと証明は書けません。 たとえば
というようなことが分かっていないと、証明が書けないわけです。 そこで このレッスン１では、いろいろな種類の数字を文字式で表す方法を学習します。 ●次のステップ１〜ステップ３の例を１つ１つ読んで、パターンをいくつか覚えてもらいます。 【ステップ１】 偶数・奇数・倍数 などを表すには
●「偶数」とは ２の倍数のことですから 必ず ２×（整数） という形にすることが出来ます。 （例：１４＝２×７、 ６８＝２×３４ など） ですから、文字で表すときは ２ｍ、２ｎ、とか ２（ ） という形にします。 別のいい方をすると
全ての偶数は ２ｍ、２ｎ など で表すことができます。 たとえば ３４ は たまたま ｍ＝１７ だったということです。（２ｍ＝３４） ●「奇数」とは ２で割ると１余る数のことですから ２の倍数＋１ ということですね。 つまり ２ｍ＋１ 、２ｎ＋１、 ２（ ）＋１ などと表せます。 たとえば １７ は たまたま ｍ＝８ だったのです。 ２×８＋１＝１７ ●３の倍数は 必ず ３×（整数） という形になりますから、 ３ｍ ３ｎ ３（ ） などと表せる ということになりますが、 そろそろ分かってきましたか？ ●ところで、 ２（ ） とか ２（ ）＋１ の （ ）は 何を表すのでしょうか？ これは簡単に言うと、証明の最後に使う形だということです。 たとえば 問題が
ということであれば 初めの 「奇数と奇数」 は ２ｍ＋１、２ｎ＋１ とおき、 最後の 「偶数になる」 という部分は ２（ ） で表す努力をする、 ということです。 （ちょっと分かりにくいかも知れませんが、そのうちに理解できるようになりますので、ここではあまり気にしないでおいて下さい。） ●ではクイズです。 クイズ@： ９の倍数はどのように表せるか？ 上の例を参考にして ３種類 書きなさい。 ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿ ●では 次のパターン。
●３で割ると１余る数というのは ７ とか ３１ などですよね。 これらは ７＝３×２＋１、 ３１＝３×１０＋１ というように３の倍数に１を加えたものと考えます。 （つまり ３ｍ ＋ １ など） ●では またクイズです。 クイズA： ５で割ると３余る数は？ ＿＿＿＿ ＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿ 【ステップ２】 ２ケタ（桁）の整数、 ３ケタの整数 を表すには
●２ケタの整数というのは １５ とか ４９ とかですよね。 全部で １０〜９９まで９０個 ありますが、 １０ａ＋ｂ はこれだけで ２ケタの整数９０個を 全て表すことが出来ます。 たとえば ５３ なら たまたまａ＝５， ｂ＝３ だったのだ と考えればいいですし、 ａ＝２、ｂ＝０ を使えば ２０ という数字を作れます。 ●さらに
●たとえば ５３の 十の位と一の位を入れ替えると ３５ ですが、 元の数が １０ａ＋ｂ なら → 入れ替えると １０ｂ＋ａ となります。 ●さらに もう一歩進んで
●ではまたクイズ！ クイズB： 上の３ケタの数字（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）の 百の位と一の位を入れ替えた数字はどのように表せるか？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【ステップ３】 連続した数 を表すには （注意：この場合、文字を１種類だけ使うことに注意して下さい。）
●連続する２つの数（たとえば３，４）は 小さい方の数字を ｍ とおくと、 大きい方は ｍ＋１ となることは分かりますね。 逆に 大きい方の数字を ｍ とおくと 小さい方の数字は ｍ−１ とおけます。 ●連続した３つの数（３，４，５など）は ３つに増えるだけですから、 ｍ、 ｍ＋１、 ｍ＋２ となりますよね。 ●連続した２つの奇数 は たとえば （７と９） （１３と１５） でわかるように、差が２ですから 、 小さい方の奇数を ２ｍ＋１ とおくと ２ｍ＋１ 、 ２ｍ＋３ となりますよね。 ●ではクイズ！ クイズC： 連続した ２つの偶数はどのように表せるか？ |
| ●では 今の時点で 次のようなことを 疑問に思っていたら クリックして解説を読んでおきましょう。 |
| ●では これまでのことをまとめてみましょう。 文字のおき方例 一覧表
だいたい頭に入りましたか？ 暗記する必要はありませんが、「こういうときは このように表す」ということを理解しておいて下さい。 ●ではチェックテストです。まずは文字式の おき方の練習から
●次に 結論の導き方の練習。 これはまだ詳しい説明をしていないのですが、あとで説明しますから、とりあえず下の【問題２】をやってみて下さい。（解らなければ答を見ても構いません）
●ところで 上の問題の例で ７の倍数であることを証明する → ７（ ） をつくる とありますが、７（ ） を作るといっても 具体的にどうすることか、今の時点では分かりにくいかも知れませんので、これをちょっと説明しておきます。 ｍ と ｋ が整数だと分かっているとき ７ｍ＋１４ｋ は７の倍数になります。 なぜなら ７ｍ も １４ｋ も７で割りきれるので、 ７ｍ＋１４ｋ ＝ ７（ｍ＋２ｋ） と表せます。 そして （ ）の中身 ｍ＋２ｋ は整数だから ７（ｍ＋２ｋ） は７の倍数だと分かるのです。 同様に ３ｍ＋６ｎ−９ ＝ ３（ｍ＋２ｎ−３） → ３の倍数といえる ３ｍ＋１５ｎ＋２ ＝ ３（ｍ＋５ｎ）＋２ →３で割ると２余るといえる。 ●ここまで進んできたあなたはもう、次のような問題が出されても、びっくりすることはないと思います。
あなたがやることは、
これを 簡単に書いてみましょう。
これをもう少しきちっと書けば 答案として認めてもらえるのです。 |
| ●レッスン１はこれで終わりです。 レッスン２では、答案の書き方の練習をします。 |
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