クイズ@　答　　

９の倍数は　　９ｍ、　９ｎ、　９（　　　）　など















このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。





クイズA　答

５で割ると３余る数は　　→　　５ｍ＋３、　５ｎ＋３、　５（　　）＋３　など















このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。





クイズB　答

　　１００ｃ＋１０ｂ＋ａ















このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。



クイズC　答　

　連続した２つの偶数　→　　２ｍ、　２ｍ＋２　　など（文字は何でも良い）















このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。


●文字を　ｍ　とか　ｎ　ではなく、　ｙ　とか　ｔ　とか　使えないの？
　
→　使えます。

解説

文字式を使うとき、ｍを使うか、ｙ　や　ｔ　を使うか　というのは　あなたの自由です。　
ただ、数学の分野では、整数を表す文字として、よく　ｍ、ｎ、を使うことが多いのです。










このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。


●「２つの偶数」を　２ｍ　と　２ｍ　と同じ文字でおいてはダメなの？　

→ダメです。

解説

　「２つの偶数」とは、「２種類の偶数」　というように考えて下さい。

　たとえば　（１２　と　４６　）　とか　（　６　と　１４）　とかですが
２ｍと２ｍ　では　２種類の偶数は表せません。　

　　もし　ｍ＝６　なら　２ｍ＝１２　となりますが、　４６にするには　ｍ＝２３　に
変えなければなりません。　でも　ｍ＝６　なら　最後まで　ｍ＝６　なので、２ｍで４６
を表すことは出来ないのです。

一方、　２つの偶数を　２ｍ、　２ｎ　と２種類の文字でおいておけば、

　ｍ＝６　のとき　２ｍ＝１２，　　　ｎ＝２３　　のとき　２ｎ＝４６　とすることが出来ます。





このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。



●連続した３つの整数を　ｍ、ｋ＋１、ｎ＋２　とかは　おけないの？

→　ダメです、おけません！


　　連続した３つの整数　とは　（５，６，７）　とか　（１３，１４，１５）　のような
ものですが、（ｍ、ｋ＋１、ｎ＋２）　では　それらを表すことが出来ません。

　たとえば　ｍ＝５　と決めても、　ｋ＋１＝６　となってくれる保証はないからです。
（ｋ、ｎ　はｍとは別物ですから、　ｋ＝３でも　ｎ＝２４５　でも　いいのです。）

　一方　もし、　ｍ、ｍ＋１，ｍ＋２　であれば　　ｍ＝５　と決めてやると

　　　　　ｍ＝５，　　ｍ＋１＝６、　ｍ＋２＝７　

というように、必ず連続した数になります。






このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。


●連続した３つの整数を、　ｍ−１，　ｍ、　ｍ＋１　とおくのはいいの？

→　いいです。


　たとえば、連続する３つの数　　３、４，５などを表すのに、最小の数を基準にすると

　　　　ｍ、　ｍ＋１，　ｍ＋２　　

　真ん中の数字を基準にすると

　　　　ｍ−１，　ｍ、　ｍ＋１

となりますし、　最大の数を基準にすると

　　　ｍ−２，　ｍ−１，　ｍ

と表せます。

しかし、あまりお薦（すす）めはしません。マイナス（−）があると計算ミスを
しやすくなるからです。




このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。



【問題１】　答

（１）　偶数と奇数　　→　２ｍ、　２ｎ＋１　　　（ただしｍ、ｎは整数）　　など　

（２）　連続した２つの整数　→　ｎ、　ｎ＋１　（ただし、ｎは整数）　　　など

（３）　連続した２つの奇数　　→　２ｎ＋１、　２ｎ＋３　　（ただし　ｎは整数）　　など

（４）　３ケタの整数　→　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ　　（ただし、ａ，ｂ，ｃは　１桁の整数）

（５）　５でわると３余る数と　５で割ると２余る数　→　５ｍ＋３，　５ｎ＋２　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただしｍ、ｎは整数）　　など








このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。




【問題２】　答


（１）　奇数であることを証明　→　　２（　　　）＋１　　　など

（２）　１１の倍数であることを証明　→　１１（　　　　）

（３）　３で割ったら２余る数であることを証明　→　　３（　　　）＋２

（４）　９で割り切れることを証明　→　　９（　　　）

（５）　ある整数の２乗になっていることを証明　→　　（　　　　）２　









このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。



【問題３】　



　答案例


　　
　　２つの奇数を　２ｍ＋１、　２ｎ＋１　とおく。　（ただし　ｍ、ｎは整数）


　　　（２ｍ＋１）＋（２ｎ＋１）　＝　２ｍ＋１　＋　２ｎ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　２ｍ　＋　２ｎ　＋　２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　２（ｍ＋ｎ＋１）


　　　　（　　　）内は整数だから　上の式は偶数









　　　このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。



【問題４】

答案例



　　　２つの奇数を　２ｍ＋１、　２ｎ＋１　とおく。（ただし　ｍ、ｎは整数）


　　　　　（２ｍ＋１）−（２ｎ＋１）　＝　２ｍ＋１　−２ｎ−１
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　２ｍ　−　２ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　２（ ｍ−ｎ ）
　

　　　　（　　　）内は整数だから　上の式は偶数







　　　このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。



【問題５】

答案例



　
　もとの数を　１０ａ＋ｂ　とおくと、数字を入れ替えた数は　１０ｂ＋ａ 　とおける。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし、　ａ、ｂ　は１ケタの整数）

　　　　　　（１０ａ＋ｂ）＋（１０ｂ＋ａ）　＝　１０ａ＋ｂ　＋　１０ｂ＋ａ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　１１ａ　＋　１１ｂ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　１１（ ａ　＋　ｂ ）


　　　　　　（　　　）内は整数だから　上の式は　１１の倍数








　　　このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。




【問題６】

確認作業の例　　　

（２５　と　５２）　→　　差は　５２−２５ ＝ ２７ ＝ ９×３　 確かに９の倍数

（１９　と　９１）　→　　差は　９１−１９ ＝７２　＝ ９×８　 確かに９の倍数



答案例




　　もとの数を　１０ａ＋ｂ　とおくと、数字を入れ替えた数は　１０ｂ＋ａ 　とおける。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし、　ａ、ｂ　は１ケタの整数）

　　　　　　（１０ａ＋ｂ）−（１０ｂ＋ａ）　＝　１０ａ＋ｂ　−１０ｂ−ａ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　９ａ　−　９ｂ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　９（ ａ　−　ｂ ）


　　　　　　（　　　）内は整数だから　上の式は　９の倍数




　　　このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。



【問題７】



確認作業

（３，４，５）　の３つの場合　→　３＋４＋５＝１２　　　確かに３の倍数

（１１，１２，１３）　の場合　　→　１１＋１２＋１３＝３６　　確かに３の倍数


証明答案例




　　連続する３つの整数を　ｍ、ｍ＋１、ｍ＋２　とおく。（ただしｍは整数）


　　　　ｍ＋（ｍ＋１）＋（ｍ＋２）　＝　ｍ＋ｍ＋１＋ｍ＋２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　３ｍ　＋　３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　３（ｍ＋１）


　　（　　　）内は整数だから　上の式は３の倍数






　　　このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。




【問題８】



確認作業

　連続する２つの奇数　（３，５）　の場合　

　　　　　　→　５２　−　３２　＝　２５−９＝１６　確かに８の倍数


　連続する２つの奇数　（１１，１３）　の場合　

　　　　　　→　１３２　−　１１２　＝　１６９−１２１＝４８　　　確かに８の倍数


証明答案例




　　　連続する２つの整数を　２ｍ＋１、　２ｍ＋３　とおく。（ただし、ｍは整数）


　　　（２ｍ＋３）２−（２ｍ＋１）２＝　（４ｍ2＋１２ｍ＋９）−（４ｍ2＋４ｍ＋１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　４ｍ2＋１２ｍ＋９　−４ｍ2−４ｍ−１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　８ｍ＋８

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　８（ｍ＋１）


　　　　　　（　　　）内は整数だから　上の式は８の倍数





　　このページを閉じるときは　閉じるマーク（×）をクリックして下さい。


【３年生・問９】　異なる２つの奇数がある。　それぞれの平方（２乗したもの）の差は　
４の倍数になることを証明せよ。




　　異なる２つの奇数を　２ｍ＋１、２ｎ＋１　とおく。（ただしｍ、ｎは整数）


　　　　（２ｍ＋１）２−（２ｎ＋１）２　＝　４ｍ２＋４ｍ＋１−（４ｎ２＋４ｎ＋１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　４ｍ２＋４ｍ＋１−４ｎ２−４ｎ−１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　４ｍ２＋４ｍ−４ｎ２−４ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　４（ｍ２＋ｍ−ｎ２−ｎ）


　　（　　　）内は整数だから　上の式は４の倍数







【３年生・問１０】　連続する３つの整数がある。　それぞれの２乗の和（それぞれを２乗して
その答を３つ足したもの）から５を引くと、最大の数と最小の数の積の３倍になることを証明せよ。




　　連続する３つの整数を　ｍ、ｍ＋１、ｍ＋２　とおく。（ただしｍは整数）


　　　　ｍ2＋（ｍ＋１）2＋（ｍ＋２）2　−５　
　　　
　　　　＝　ｍ2＋（ｍ2＋２ｍ＋１）＋（ｍ2＋４ｍ＋４）−５

　　　　＝　３ｍ2＋６ｍ

　　　　＝　３（ｍ2＋２ｍ）

　　　　＝　３ｍ（ｍ＋２）

　上の式は　最小の数ｍと最大の数ｍ＋２の積を３倍したものといえる。



【３年生・問１１】　５で割ると２余る数と、５で割ると３余る数がある。
　この２つの数の積を５で割ると　余りは１になることを証明せよ。




　　５で割ると２余る数を　５ｍ＋２　

　　５で割ると３余る数を　５ｎ＋３　とおく。　　（ただしｍ、ｎは整数）


　　　　（５ｍ＋２）（５ｎ＋３）　＝　２５ｍｎ＋１５ｍ＋１０ｎ＋６　　←（６を５と１に分ける）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　２５ｍｎ＋１５ｍ＋１０ｎ＋５　＋１　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　５（５ｍｎ＋３ｍ＋２ｎ＋１）　＋１


　　（　　　）内は整数だから　上の式は５の倍数に１を足したもの

　　よって、　５で割ると１余る数といえる。



【３年生・問１２】　連続する２つの偶数がある。　大きい方の偶数の平方から
　小さい方の平方を引いた差を４で割ると、奇数になることを証明せよ。




　　連続する２つの偶数を　２ｍ、２ｍ＋２　とおく。　　（ただしｍは整数）


　　　　（２ｍ＋２）2　−（２ｍ）2　＝　４ｍ2＋８ｍ＋４　−　４ｍ2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　８ｍ　＋　４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　４（２ｍ＋１）


　　上式を４で割ると　答（商）は　２ｍ＋１　つまり　奇数となる。

　　





【高校レベル参考・問題１３】

　　　　　　１１ａ＋ｂ



【高校レベル参考・問題１４】



　
　４ケタの整数を　１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ　とおく。
　　　（ただし、ａ　は　１〜９　の整数、　ｂ、ｃ、ｄ　は０〜９の整数）

　条件より　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝９ｍ　とおける。（ｍは整数）　　・・・・@

　このとき

　　１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ　＝　（９９９ａ＋ａ）＋（９９ｂ＋ｂ）＋（９ｃ＋ｃ）＋ｄ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　９９９ａ＋９９ｂ　＋　９ｃ　＋（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　９（１１１ａ＋１１ｂ＋ｃ）　＋　９ｍ　（　@より　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　９（　１１１ａ＋１１ｂ＋ｃ＋ｍ　）


　　　　　　　　（　　）内は整数だから　上式は９の倍数