レッスン１　   レッスン２   　レッスン３   　レッスン４







これで確実に解ける！「確率」の問題


◆中学レベルの「確率の問題」は、非常に簡単です。　しかも、高校入試ではほぼ１００％出題されます。　ですから、この分野の問題は「確実に」解けるようにするべきですし、誰でも解けるようになります。　（「数学は苦手だ」という人でも、確率の分野に関する限り得意になれるのです。）



◆なぜそうなのか。　それは解き方が非常に限られているからです。　おおざっぱにいうと、「表を描く」か、「樹形図を描く」か、この２つしかありません。　そして、中間・期末から公立高校の入試問題にいたるまで、９０％位は表を描くことで「確実」に解くことが出来るのです。　（へたに考えるより表を描いた方が早く確実です。）



◆このレッスンでは、中間・期末レベルから公立高校入試レベルまでの「確率の問題」を、自信を持ってすばやく解ける、というレベルにまで、あなたをご案内しようと思います。　　必要な時間は、
  • 中間期末レベルまで　１時間半ぐらい
  • 高校入試レベルまで　さらに１時間半ぐらい
だろうと思います。













レッスンの前に　



●私が確率の問題を中学生に説明するときには、問題の種類を、３つに分けて解説します。　その３つとは、１次元の問題、２次元の問題、３次元以上の問題　です。　といっても何のことかわからないと思いますので、まずそこから説明します。



＜１次元の問題＞
  • サイコロを１回ふる問題
  • 数枚のカードから１枚選ぶ問題
  • 数人の中から１人を選ぶ問題


＜２次元の問題＞
  • サイコロを２回ふる、または２つのサイコロをふる問題
  • 袋の中からボールを２個取り出す問題
  • 数人の中から２人を選ぶ問題

ときたら、３次元以上の問題はどんなものか想像がつきますよね。


＜３次元以上の問題＞
  • コインを３枚投げる問題
  • ３人でじゃんけんをする問題
  • 長椅子に４人座らせる問題

●例えば、つぎのような問題は何次元の問題でしょうか？
６人の生徒の中から班長と副班長を１人ずつ選ぶとき、選び方は何通りあるか？
これは、数人の中から２人（班長と副班長）を選ぶわけですから「２次元の問題」ということになります。　　「２回投げる」「２人選ぶ」「２回取り出す」…ときたら、２次元です。ではつぎの問題はどうでしょうか。
３枚のコインを同時に投げて２枚だけが表になる確率は？
これは３次元の問題です。　「３回投げる」「３枚投げる」「３回取り出す」…ときたら、３次元です。（　「２枚だけが表」の「２」に惑わされないように。）　では、最後にこれは？
１０本のくじがあり、２本だけが当たりくじである。　このくじを１回引いてあたる確率を求めよ。
これは「１回引く」わけですから、１次元の問題です。　よろしいでしょうか？

●さて、それではなぜこのような分類をするのかお話しします。　これらの３種類にはつぎのような特徴があります。


問題の種類 解き方 中間・期末の出題 公立入試出題率
１次元の問題 計算だけ 少し出る 　０％
２次元の問題 表 たくさん出る ８０〜９０％
３次元以上の問題 樹形図 少し出る １０〜２０％
　　　　　　　　　（公立入試の出題率は２００３年春の４７都道府県の出題状況から算出）


●ここで、注目してほしいのは、次元によって解き方が違う（というより解き方をかえた方がよい）ということ、そして、２次元の問題が非常に多いということです。　つまり、２次元の問題を確実に解けるようにするだけで、確率の問題は８０〜９０％カバーできるということになります。　そして、２次元の問題を解くには表の描き方をマスターすればよい、ということになりそうです。　（といっても３次元以上の問題を無視するわけには行きませんので、それもちゃんと学習しますが…。）


●ということで、こらからつぎのような順序でお話を進めていきます。
  • レッスン１　…　１次元の問題
  • レッスン２　…　２次元の問題　（表で解く）
  • レッスン３　…　３次元以上の問題　（樹形図で解く）
  • レッスン４　…　問題集（中間・期末レベル ＋ 公立入試問題）　


注意１）　ところで、このような１次元、２次元という表現は私が勝手に使っているだけですから、あなたの学校の先生や友人に言っても通じませんので、念のため。



注意２）２次元の問題は「表」ではなく「樹形図」で解くことも出来ます。　しかし、表に比べるとはるかに時間がかかり、数え間違いをしたりしますので、私はお勧めしません。やはり、２次元は「表」が一番！


では、さっそくレッスン１から











レッスン1






●このレッスン１ではまず「１次元の問題」を考えます。　つまり
  • サイコロを１回ふる問題
  • 数枚のカードから１枚選ぶ問題
  • 数人の中から１人を選ぶ問題
といった問題ですね。　これは「計算だけ」で出来るのですが、わかりにくいときは、ちょっと図を描いたり、数字を並べてみた方がいいでしょう。


例題１　サイコロを投げて、３が出る確率を求めよ。

１　　２　　B　　４　　５　　６　　

上のことから求める確率は　　　　　　




例題２　サイコロを投げて、３か６出る確率を求めよ。

１　　２　　B　　４　　５　　E　　

上のことから求める確率は


例題３　１０本のうち３本が当たりであるようなくじを１本引いたとき、
　　　　あたる確率


10本
　　　　○　○　○　×　×　×　×　×　×　×　
３本　　　　　　　　　　７本　　　　　　　　　


上の図から、求める確率は




例題４　１０本のうち ａ本 が当たりであるようなくじを１本引いたとき、
　　　　当たる確率は？






●特に難しいことはないと思いますので、つぎの練習問題をやってみて下さい。　出来る人は暗算でも構いませんが、ちょっとでも危ないと思ったら、数字を並べてみましょう。　　（約分を忘れずに）


練習１　サイコロをふって出た目が、偶数かまたは３の倍数である確率を求めよ。


練習２　１から２０までの数字を書いたカードが２０枚ある。　この中から１枚カードを抜き出すとき、それが素数である確率は？


練習３　１０本のうち ａ本 が当たりであるようなくじを１本引いたとき、はずれくじを引く確率は？
　　　　　

答はこちら






◆ではレッスン２に進みますが、そのまえにＩＥ（インターネット・エクスプローラー）をお使いの生徒さんは、画面を最大限に活用するために　次の操作をやって下さい。
  • 画面の上の「メニューバー」から「表示」を選択し、
  • 「表示」→一番下の「全画面表示」を選択して下さい。
※　「全画面表示」を元に戻すには　右上の「閉じるボタン（×）」の左隣にある「元（のサイズ）に戻すボタン」をクリックします。　

レッスン２へ進む