期待値 の 確実な解き方

　（　高校数学　ショートアドバイス　）

●「期待値」が苦手だ、という生徒さんには２つのタイプがあります。 確率そのものが苦手　という人 確率は何とか分かるけど　期待値になるとダメという人 この講座は　（B）の生徒さんを対象に作ってあります。 　（A）の生徒さんは、確率に自信をつけてから読んで下さい。 ●期待値を 「何となく解きにくいジャンルだ」 と思っている人が時々いますが、それは 大きな間違いで す。　わかりにくいときは　縦４段の表を書けば「確実に」解くことが出来ます。 　縦４段の表というのは　下図のようなものです。　数学的に言うと　確率分布表のようなものですが、言葉のイメージほど難しものではありません。

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※１段目の「事象」というのは、どのような場合が存在するか　ということ。　 ※２段目のＸは、確率変数と呼ばれるもので、問題によって、得点だったり、賞金だったり、枚数だったりします。　「得点の期待値を求めよ」という問題では　得点Ｘ　となります。 　 ●実際の問題では、「事象」と「確率変数Ｘ」は　問題文に書いてありますから、結局「確率Ｐ」の部分さえしっかり出来れば、期待値は　自動的に出てくるようになっているのです。 ●では　具体的な問題を使って、説明しましょう。 【例題１】 サイコロを１回ふり、１が出たら１０円、２が出たら２０円、３が出たら４０円、４が出たら６０円、５が出たら８０円、６が出たら０円獲得出来るものとする。獲得賞金の期待値はいくらか？ （手順１）　まず　事象（１，２，３，４，５，６）と　　それぞれの賞金（ 10, 20, 40, 60, 80, 0 )を書き込みます。

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（手順２）　次に確率を計算しますが、この問題は計算するまでもなく、全ての場合の確率が １／６　（６分の１）　ですからそう書き込みます。

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（手順３）　次に X と P を掛け合わせて ４段目に書き込みます。

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最後に４段目の合計を右端に求めてください。（↑上図参照） ここで出てきた合計　 （　２１０／６　）　　すなわち　３５円が期待値です。 ●特に難しいことはないでしょう？　では次の例題に行きます。 【例題２】 コインを３枚投げたとき、表が出る枚数の期待値を　求めよ。 （手順１）　この問題の場合は　事象と確率変数が一致しています。　つまり事象は　 ３枚、２枚、１枚、０枚 また　枚数の期待値ですから、確率変数も枚数で ３、　２，　１、　０ です。（０枚を忘れないように）

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となるのですが、わからない人のために、図を２種類　用意しました。　図を見て、なぜそうなるかを確認して下さい。　（　わかる人は　飛ばしてかまいません。）

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●この程度の確率であれば、上のような図を描くのが一番早いですが、　どうしても　数式で求めたい、と言う場合は　下のような数式を用います。

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● 確率がわかったら　それを書き込み、　下表のようになります。

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●さらに４段目の Ｘ×Ｐ を計算し、　その合計を求めると

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●では少し難しい例題を解きましょう。 注意：問題文を読みながら、必ず図を描いて下さいね。 【例題３】　 赤球４個、白球３個がはいっている袋の中から　３個の球を同時に取り出すとき、　　赤球１個につき１０点、　白球１個につき−５点　と計算するとき、得られる得点の期待値を求めよ。

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●この場合　確率がやや面倒ですので、とりあえず表には事象と、得点のみ記入しておきましょう。

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●さて確率ですが、　ここでもう一度、　先ほど描いた図をみて、

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注意：　このあたりの確率の出し方がピンと来ない人は、まだ確率があやふやな人ですから、「期待値」をやる前に、確率の基礎をやり直してから、再度この講座にトライした方がよいと思います。

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●これらの確率を表に書き込んで、Ｘ・Ｐを求め、　期待値を出すと

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●ところで、今回のように　確率の計算が面倒なときは、計算ミスをしていないかどうか確認するために、確率の合計が１になっていることを確かめるのが確実なやり方です。 ●このように、期待値の問題は、 （手順１） 問題文から事象の種類と　確率変数Ｘ　（得点・賞金など）　を読み取り （手順２） それぞれの事象の確率Ｐを求め （手順３） 確率変数Ｘ と確率Ｐの積を計算する という作業をすることです。　そしてそれには　縦４段の表を使えば比較的楽に答えを出すことが出来るということをお伝えしたかったわけです。　　繰り返しになりますが　ポイントは　確率Ｐ　がちゃんと出せるかどうかという点です。 ●基礎編の解説はこれで終わりです。　下に基礎レベルの問題を４問出しておきましたので、利用して下さい。　また自分の問題集で実際に解いてみて下さい。 追記　：　なお、もう少しレベルが高くなって、　確率変数の分散を求めよ　とか　いう言葉がでてくる問題の場合も　少し工夫すれば同じように求めることができますのでやってみて下さい。　これについてはいつか、新しいページを作って解説したいと思います。 【　基礎編　練習問題　】 【問１】 袋の中に白球５個、赤球４個、黒球２個が入っている。この袋から同時に２個の球を取り出し、白球、赤球、黒球について、それぞれ３０円、５０円、１００円もらえるものとする。このときもらえる金額の期待値を求めよ。 問１　答はこちら 【問２】 ○、×で答える問題が５問出題されている。５問とも合えば１０点、４題なら５点、３題なら２点、２題以下なら０点という採点法をとる。　まったくでたらめに○、×をつけた人の点数の期待値を求めよ。 問２　答はこちら 【問３】 さいころを５個投げて、１の目がｍ個出たらｍ点もらえるという試行を１度おこなうときの得点の期待値を求めよ。 問３　答はこちら 【問４】 １つのサイコロを２回投げて、出た目を順に１０の位、１の位の数として、２桁の数χを作るとき、χを４で割ったときのあまりの期待値を求めよ。　（福島県立医大） 問４　答はこちら

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